20 de colegi și 2,4 cvintilioane de posibilități: Statistici impresionante despre un obicei de Crăciun

Crăciunul este adesea descris ca fiind cea mai frumoasă perioadă a anului, însă pentru mulți dintre noi, acest moment este adesea precedat de tradiția „Secret Santa”, un obicei prin care angajații își cumpără cadouri pentru colegi aleși aleatoriu. Potrivit unei analize a revistei The Conversation, acest proces nu este întotdeauna lipsit de dificultăți.

S-ar putea să ne surprindă să observăm colegii deschizând cadouri – care, de multe ori, nu sunt pe gustul lor și pot fi selectate de persoane pe care le cunosc puțin. Ar fi interesant să reflectăm la improbabilitatea statistică a acestei situații.

Distribuția unui mix de cadouri, variind de la rame de fotografii și lumânări parfumate la seturi de cosmetică, ajunge să fie considerată un adevărat miracol de Crăciun.

Pentru a determina câte combinații posibile de cumpărători și destinatari de cadouri există, trebuie să calculăm numărul total de permutări pentru persoanele implicate.

Permutări în cadrul biroului cu Secret Santa

Să analizăm un birou mic care are doar 4 angajați. Dacă nu există vreo regulă împotriva extragerii propriului nume, atunci fiecare dintre cele 4 persoane poate fi aleasă pentru a cumpăra un cadou.

După ce prima persoană a fost selectată, rămân 3 opțiuni pentru a doua persoană, apoi 2 pentru a treia, iar în final, o singură opțiune pentru ultimul participant la „Secret Santa”.

Aceasta înseamnă că avem 4 × 3 × 2 × 1 = 24 permutări posibile, iar mathematicienii notează aceasta sub forma 4! – cunoscut ca „patru factorial”, o termeni care poate evoca amintiri neplăcute pentru cei care nu iubesc matematica.

Plus că, factorialele cresc rapid atunci când numărul persoanelor implicate este mai mare. De exemplu, cu 9 reni, numărul modalităților de aranjare pentru a trasa sania lui Moș Crăciun ajunge la 9! = 362.880.

Revenind la oficiu, pe măsură ce numărul angajaților crește până la 20, există peste 2,4 cvintilioane de permutări posibile. Comparativ, cifra 20! este de peste 3 ori mai mare decât numărul de boabe de nisip de pe planetă.

Obiceiul de a cumpăra cadouri pentru alții

Este evident că, în cadrul „Secret Santa”, se preferă ca fiecare participant să nu își aleagă propriul nume. În realitate, ceea ce ne dorim nu este doar o simplă permutare a angajaților, ci ceea ce matematicienii numesc un deranjament. Acesta se referă la o permutare în care niciun element nu rămâne în poziția sa inițială, ceea ce înseamnă că nimeni nu își cumpără singur cadoul.

Calculul acestor deranjamente este complex. Numărul modurilor în care n angajați pot fi distribuiți către alții este denumit numărul n de Montmort.

Interesant este faptul că acest număr se apropie de n!/e, rotunjit la cel mai apropiat întreg. E indică numărul lui Euler, aproximativ 2,71828 – temut de toți cei care au avut de-a face cu logaritmi.

Din totalul celor 24 de permutări posibile în cazul celor 4 angajați, doar 9 sunt deranjamente, ceea ce reprezintă 24/e. La numere mari, aproximativ 63,2% din permutările posibile nu sunt deranjamente, fiind astfel excluse.

În cazul unui birou cu 20 de angajați, acest număr reduce cele 2,4 cvintilioane de permutări la aproximativ 895 cvadrilioane. Aceasta rămâne, totuși, de peste 100 de milioane de ori mai mult decât populația mondială.

Probabilitatea de a fi propriul Moș Crăciun

Fără a lua în considerare deranjamentele, o descoperire surprinzătoare a „Secret Santa” este numărul mediu de persoane care, în mod aleatoriu, își vor extrage propriul nume. Indiferent de câți participanți sunt, medie indică întotdeauna o singură persoană care sfârșește prin a își cumpăra propriul cadou.

Demonstrarea acestui fapt este mai complicată, însă, dacă ne gândim la impactul creșterii numărului de angajați. De fiecare dată când dublăm numărul participanților, șansele fiecărei persoane de a extrage propriul nume se înjumătățesc.

De exemplu, în cazul a 4 colegi, din cele 24 de permutări posibile, fiecare cadou extras presupune 4 extrageri ale propriului nume, cu 0, 3, 6 și 8 extrageri de câte unul.

Fie că lăsăm matematica deoparte, ar fi mai bine să ne lăsăm purtați de mesajul din melodia celebră a lui Mariah Carey.